ללמוד נוסחאות: למה דף הנוסחאות לא מספיק, ומה כן עוזר

יש רגע מוכר בשיעור מתמטיקה. המורה פותרת תרגיל על הלוח, בוחרת נוסחה, וממשיכה. אתה מבין כל שלב בפתרון. הכל הגיוני. בבית אתה פותח תרגיל דומה, מסתכל על דף הנוסחאות, ורואה עשרים שורות שכולן נראות אפשריות. אתה יודע שהתשובה נמצאת באחת מהן. אתה פשוט לא יודע באיזו.

זה הפער שרוב העצות על נוסחאות מפספסות. הן מדברות על שינון: כתוב את הנוסחה עשר פעמים, תלה אותה מעל השולחן, המצא ראשי תיבות. אבל כשחלק מהנוסחאות כבר מודפס מולך, השינון מפסיק להיות המחסום העיקרי. המחסום הוא הצעד שלפניו.

הקושי האמיתי הוא לבחור, לא לזכור

ב-1981 שלושה חוקרים, שי, פלטוביץ' וגלייזר, עשו ניסוי פשוט ומאלף. הם נתנו לסטודנטים שרק התחילו ללמוד פיזיקה, ולדוקטורנטים מנוסים, ערימה של שאלות פיזיקה, וביקשו למיין אותן לקבוצות. בלי לפתור, רק למיין.

המתחילים מיינו לפי מה שרואים בעין. כל השאלות עם מישור משופע הלכו יחד. כל השאלות עם קפיץ הלכו יחד. המנוסים מיינו אחרת לגמרי: לפי העיקרון הפיזיקלי שפותר את השאלה. שאלה על מישור משופע ושאלה על קפיץ נחתו אצלם באותה ערימה, כי שתיהן נפתרות בשימור אנרגיה.

ההבדל בין השתיים הוא בדיוק ההבדל בין מי שנתקע מול דף הנוסחאות למי שלא. אם אתה זוכר נוסחאות לפי איך שהן נראות, השאלה במבחן צריכה להיראות כמו התרגיל שפתרת כדי שתזהה מה לעשות. אם אתה מכיר אותן לפי מה שהן עושות, השאלה יכולה להיראות אחרת לגמרי ואתה עדיין תדע לאן ללכת.

נוסחה היא לא שורה של סימנים. היא משפט שאומר משהו על העולם, בקיצור.

שלושה דברים שצריך לדעת על כל נוסחה

פסיכולוגים של למידה מבחינים בין שלושה סוגי ידע: מה הדבר, איך מפעילים אותו, ומתי כדאי. השלישי נקרא ידע מותנה, והוא זה שנשאר הכי לא מלומד. פריס, ליפסון וויקסון תיארו את זה כבר ב-1983: תלמידים לומדים אסטרטגיות ולא לומדים מתי להשתמש בהן, ולכן האסטרטגיה יושבת בראש ולא יוצאת החוצה ברגע הנכון.

לכל נוסחה שאתה לומד, כדאי שיהיו לך שלוש תשובות מוכנות:

• מה היא אומרת במילים. לא הסימנים, המשמעות. "האנרגיה הקינטית גדלה עם הריבוע של המהירות" זה משפט. אפשר להבין אותו, לזכור אותו ולבדוק אותו מול המציאות. "אֶה-קָה שווה חצי אֵם וֵי בריבוע" זה רצף הברות.
• מתי היא תקפה. כמעט לכל נוסחה יש תנאים. היא עובדת רק כשאין חיכוך, רק במשולש ישר זווית, רק כשהתנועה קצובה. התנאי הזה הוא לרוב מה שמסתתר בשאלה במבחן. כשאתה יודע אותו, אתה מזהה את הנוסחה מהמשפט הראשון בשאלה.
• מה קורה כשמשנים גודל אחד. אם תכפיל את הרדיוס, מה יקרה לשטח? אם המסה תגדל, מה יקרה לתאוצה? מי שיודע לענות על זה מהר לא צריך לחפש את הנוסחה. הוא כבר יודע איך היא מתנהגת.

שלושת אלה לא מגיעים משינון. הם מגיעים מזה שמישהו שאל אותך עליהם, או שאתה שאלת את עצמך.

למה "יהיה לי את הדף" מרגיע יותר מדי

גישה לחומר בזמן הבחינה משפרת את מה שקורה באותו רגע, וזה לא אותו דבר כמו מה שנשאר אחריו. קבוצת חוקרים בראשות פוג'ה אגרוול והנרי רודיגר בדקה את זה ב-2008. הם השוו נבחנים שהחומר היה פתוח מולם לנבחנים שנבחנו בלעדיו. עם החומר פתוח הביצועים המיידיים היו טובים יותר, וזה הגיוני. אבל במבחן חוזר שבוע אחרי, היתרון הזה כבר לא היה שם, ושתי הקבוצות זכרו במידה דומה. מה שהחומר הפתוח קנה היה ביצוע ברגע, לא זיכרון לטווח ארוך.

דף הנוסחאות עובד באותו היגיון. הוא באמת עוזר לך ברגע שאתה צריך את הניסוח המדויק, והוא לא בונה במקומך את הידיעה מתי להשתמש בו. הוא לא יגיד לך שהשאלה הזאת היא שאלת שימור אנרגיה. את זה אתה צריך להביא איתך.

ארבעה תרגילים שעובדים

1. תרגם כל נוסחה למשפט אחד בעברית

קח מחברת, ולכל נוסחה בפרק כתוב שורה אחת שאומרת מה היא עושה, בלי אף סימן מתמטי. אם אתה לא מצליח לנסח את השורה הזאת, גילית משהו חשוב: אתה מכיר את הנוסחה ולא מבין אותה. זה בדיוק המקום לחזור לספר.

2. תמיין תרגילים בלי לפתור אותם

קח עשרה תרגילים מהפרק, ובמקום לפתור, כתוב ליד כל אחד רק את שם הנוסחה שהיה צריך ולמה. עשר דקות, בלי מחשבון. זה בדיוק המיון שהמנוסים בניסוי עשו, ואפשר לתרגל אותו ישירות. אחר כך בדוק את עצמך מול הפתרונות. הטעויות פה שוות הרבה יותר מטעות בחישוב, כי הן מראות איפה אתה מזהה שאלות לפי המראה שלהן.

3. תפתח כל נוסחה שאפשר לפתח

הרבה נוסחאות בדף הן קיצור של משהו קצר יותר. נוסחת המרחק היא משפט פיתגורס. שטח הטרפז הוא ממוצע של שני הבסיסים כפול הגובה. כשאתה מבין מאיפה נוסחה הגיעה, אתה מפסיק להיות תלוי בזה שתזכור אותה בדיוק, ואם היא תיעלם לך מהראש תוכל לבנות אותה שוב. לא כל נוסחה שווה את הזמן הזה, אבל המרכזיות בפרק בהחלט שוות.

4. תסביר בקול לפני שאתה כותב

לפני שאתה נוגע בעיפרון, אמור בקול רם: "זו שאלה על X, אני הולך להשתמש ב-Y, כי בשאלה נתון Z". משפט אחד. אם אתה לא מצליח להגיד אותו, עוד לא התחלת לפתור, אתה מנחש. שליפה בקול היא אחת הדרכים המגובות ביותר לחזק זיכרון, ורודיגר וקרפיק הראו שהיא מנצחת קריאה חוזרת בפער גדול. פה היא עושה עוד דבר: היא הופכת את הבחירה בנוסחה למשהו מודע, שאפשר לבדוק ולתקן.

אחרי כמה ימים של התרגיל הזה קורה דבר קטן ונחמד. אתה מתחיל לקרוא שאלה ולשמוע את המשפט בראש עוד לפני שסיימת אותה.

ומה עם נוסחאות שחייבים לזכור בעל פה

יש מקצועות ורמות שבהם לא מקבלים דף. גם שם הסדר לא משתנה, רק נוסף לו שלב. קודם תדע מה כל נוסחה אומרת ומתי היא תקפה, ורק אז תתרגל שליפה שלה מהזיכרון, מדף ריק, בפריסה על פני ימים. לשנן נוסחה שאתה לא מבין זה להחזיק בראש רצף סימנים שאין לו למה להיתפס, והוא באמת ייעלם. לשנן נוסחה שאתה כבר מבין זה קל בהרבה, כי יש לה כבר מקום.

מקורות והרחבה

1. מומחים ומתחילים ממיינים שאלות פיזיקה אחרת Chi, Feltovich & Glaser, "Categorization and Representation of Physics Problems by Experts and Novices," Cognitive Science (1981).
2. ידע מותנה: לדעת מתי להשתמש במה שלמדת Paris, Lipson & Wixson, "Becoming a Strategic Reader," Contemporary Educational Psychology (1983).
3. מבחן עם חומר פתוח מול מבחן סגור Agarwal, Karpicke, Kang, Roediger & McDermott, "Examining the Testing Effect with Open- and Closed-Book Tests," Applied Cognitive Psychology (2008).
4. שליפה מחזקת זיכרון יותר מקריאה חוזרת Roediger & Karpicke, "Test-Enhanced Learning," Psychological Science (2006).
5. דפי הנוסחאות הרשמיים משרד החינוך מחלק דף נוסחאות בבחינות הבגרות במתמטיקה (3, 4 ו-5 יחידות) ונוסחאון בפיזיקה. כדאי לתרגל מול הגרסה המעודכנת לשנת הבחינה.

מה לקרוא אחר כך

שיטת למידה

למה בתרגול הכל ברור ובמבחן הכל נראה אחרת

לקריאה ← שיטת למידה

תרגול שעובד: איך באמת ללמוד מתרגילים

לקריאה ←